Générateur infinitésimal \(Q\) de \(\{X_t\}_{t\in{\Bbb R}_+}\)
Processus markovien de sauts
Donne le taux d'évolution des probabilités \(p_{xy}\) (dérivée). $$Q=\{q_{xy}\}_{x,y\in E}\quad\text{ avec }\quad q_{xx}=-q_x:=-\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{1-p_{xx} }{t}=\sum_{y\ne x}q_{xy}$$
- formellement, \(Q=\) \(\displaystyle{\lim_{h\to0} }\frac1h P(h)-\operatorname{Id}\)
- on en déduit \(p_{xy}=\) \(\Bbb 1_{x\ne y}\frac{q_{xy} }{q_x}\)
- interprétation de \(q_{xy}\) : la probabilité de sauter de \(x\) vers \(y\) pendant un court intervalle de temps \(\Delta t\) est \(\approx q_{xy}\times\Delta t\)
- interprétation de \(q_x\) : si on est dans l'état \(x\), alors le temps passé dans cet état suit une Loi exponentielle de paramètre \(q_x\)
- interprétation de \(\frac{q_{xy} }{q_x}\) : c'est la probabilité de passer de \(x\) à \(y\), sachant qu'on sort de \(x\)
